La ecuación lineal y su graficación

La ecuación lineal

Cuando el conjunto de los números reales es el conjunto de sustitución de las dos variables (x,y) de una ecuación de tipo que nos ocupa, la gráfica es una línea recta; este hecho es la causa de que a estas igualdades las llamemos ecuaciones lineales. En otras palabras, una ecuación es lineal cuando al sustituir las variables X y Y  por sus números reales respectivos, obtenemos una igualdad.

Ahora veamos algunos puntos fundamentales de las ecuaciones lineales al momento de comprobar si realmente son lo que son.

• Se ha llamado «solución de la ecuación lineal en X, Y» a todo par ordenado (x, y) con componentes reales, los cuales al sustituir a las variables  en la ecuación hacen cierta igualdad, de este modo, por ejemplo, (0, -4) es una solución de:

                                     2x – 3y – 12 = 0

• Teniendo en cuenta tenemos que X y Y no son iguales a la respuesta, porque al hacer X = 0 y Y = -4 en la ecuación resulta:

2(0) – 3(–4) – 12 = 0

12 – 12 = 0

0 = 0 

De esta forma observamos que al sustituir X y Y por lo que son y luego de resolver la ecuación, una igualdad nos da como resultado (0 = 0), por lo tanto, la ecuación anterior es una ecuación lineal.

La gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto solución, acomodando cada punto respectivo en la gráfica, guiándonos con las "X" y "Y" que tengamos de la ecuación de lineal; y entonces, tomando de ejemplo, la gráfica de 2x – 3y – 12 = 0, es la de {(x, y) | 2x – 3y – 12 = 0; x no es igual a la respuesta}. 

Ejemplo de actividad, de graficación de ecuaciones lineales

Ejemplo 1:

     Grafiquemos la ecuación lineal: 2x – 3y – 12 = 0

            Si x= 0

                                          -3y = 12

                                             y = 12/3

                                             y = -4

     (0, –4) es una solución; otra solución se obtiene haciendo:

            Si y = 0

                                    2x – 12 = 0

                                           2x = 12

                                             x = 12/2

                                             x = 6

    De manera que obtenemos (6, 0). Ahora se puede formar la gráfica que le pertenece  a 2x – 3y – 12 = 0 y es la siguiente:

*Nota: como la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta y una línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas ecuaciones las obtenemos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que contiene a estos dos puntos. 

Ejemplo 2:

      Si en la ecuación:

                                 2x – 3y = 0,

x es sustituida por cero (hacemos x = 0), tenemos (2)(0) – 3y = 0; de donde obtenemos que y = 0 también. Esto es, si x= 0 entonces y= 0, por lo que (0,0) es un par ordenado cuyos componentes hacen cierta la ecuación 2x – 3y = 0. Siendo así que (0,0) es una solución de dicha ecuación, la gráfica de (0,0) es la intersección de los ejes coordenados en el mismo punto. O (0,0).

Si queremos graficar la recta antes mencionada debemos encontrar al menos otra solución de su ecuación, como x  y  R. Podemos asignarle a x cualquier valor real y determinar el correspondiente de y, por comodidad hagamos x = 3, entonces la ecuación queda:

                                         (2)(3) – 3y = 0, 

y al resolverla para «y» tenemos 3y = 6 o y = 2; siendo entonces (3,2) la solución buscada, ahora graficamos los puntos correspondientes (0,0) (3,2) y por ellos trazamos la gráfica de la ecuación 2x – 3y = 0 mostrada a continuación: 

Y así, finalmente, concluimos con el tema de la entrada de hoy, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

Saludos

Equipo MTMTC

Estrenando espacio nuevo: Analizando las matemáticas en YouTube

¿Qué tal están todos? "Analizando las matemáticas en YouTube" es el nuevo titulo que tendrán todas aquellas entradas nuevas en las que les hablaremos de manera profunda, a modo de reseña, sobre diferentes canales de YouTube que se dediquen en cuerpo y alma a subir vídeos donde expliquen temas matemáticos,con la única finalidad de hacer que ustedes, nuestros lectores, sepan que canales sobre matemáticas valen la pena y cuales no.
Por el momento esto es todo, ¡nos vemos en la siguiente entrada!

Saludos

Equipo MTMTC

Logaritmos

¿Qué es un logaritmo?

En matemáticas, el logaritmo de un número (en una base de logaritmo determinada) es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

En otras palabras (y para que se entienda un poco mejor): de la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

El "Logax" 

LogaX es la forma como se representa un logaritmo.
Se lee de la siguiente manera: “logaritmo de x en base a es igual a y”, y debe cumplir con la condición general de que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de uno
A continuación, una imagen en la que se plasma lo anteriormente dicho.

Dónde a = base, x = numero, y = solución, +> = si y sólo si.

Representación de la operación del logaritmo

Para representar el logaritmo como operación se ha de llevar acabo, al pie de la letra, los siguientes pasos:

1-. Se escribe la abreviatura Log.

2-. Se pone como sub-índice la base (Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir).

3-. A continuación, y por último, se escribe el número resultante del que deseamos hallar del logaritmo.

     Por ejemplo tenemos, Log3 81 = y, o Log2 128 = y.

Resolución y explicación del logaritmo

El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia. Es decir, un logaritmo lo usamos para sacar el exponente de una cantidad en específico que ya ha sido elevado. Por lo que lo que se tiene que hacer con los logaritmos es sacar el exponente de "x" cantidad. 

• Digamos que tenemos Log3 81 = y, lo que se hace es buscar una exponente que a 3 lo lleve a 81. Cómo resultado obtendríamos 4, el exponente en pocas palabras. Después podríamos verificar el resultado de la siguiente forma: elevando a 3 a su potencia con el exponente resultado lo cual nos daría: 3^4 = 81.

    1.   Resolución: Operación y despeje a manera manual                       

Log3 81 = y <+> 3^y = 81 +> 3^y = 3^4 +> y = 4

    2.   Resolución: mediante el manejo de la calculadora

En las calculadoras la tecla "Log" es aquella que nos servirá para calcular el logaritmo decimal de cualquier número. Simplemente nos bastará con apretar la tecla "Log", seguido de haber metido aquel número del que queramos saber el logaritmo, para, por último, teclear  "=". Por ejemplo, tecleamos en la calculadora "Log", seguido por un uno y tres ceros (1000) y luego "=", nos dará por resultado que el logaritmo de 1000 es 3. En este método de resolución para el logaritmo no es necesaria la base.

Y así concluimos con el tema de la entrada de hoy, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

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Equipo MTMTC

Tipos de Funciones

Como nuestro primer tema para el blog, decidimos hablar de algo básico como lo son las funciones. Lo más esencial es conocer qué son, cómo clasificarlas y saber que tipo de funciones existen.

¿Qué es una función?

En matemática, una función es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Clasificación:

En este caso, nos enfocaremos en las más básicas que son las Lineales (en este caso llamadas de primer grado), las Cuadráticas, las Racionales y las Cúbicas (Una de las que se agrupan en las funciones exponenciales).

Funciones Lineales 

Una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta

Esta función se puede escribir como:
f (x) = mx + b

Ejemplos:

En este tipo podemos encontrar una subclasificación llamada Funciones Lineales de Varias Variables:

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma f (x,y) = a₁x + a₂y representa un plano y una función.

Funciones Cuadráticas

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:
y = ax² + bx + c

Graficación de Funciones Cuadráticas:

La funcion derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

En este caso, f(x) es la función cuadrática y f'(x) es la función lineal derivada.

Funciones Racionales

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma: 
f(x) = P(x)/Q(x)
donde P y Q son polinomios y x una variable

Ejemplo:

Propiedades:

• Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

• Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo forman un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo. El cuerpo de funciones funcionales racionales forma un subcuerpo del cuerpo de series de potencias formales.

Funciones Cúbicas

La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax + bx +cx + d

Gráfica

Propiedades:

• El dominio de la función es la recta real, es decir (-a : a)
• El recorrido de la funcion, es decir, la imagen, es la recta real
• La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x) = -f(x)
• La función es continua en todo su dominio.
• La funcion es siempre creciente.
• La función no tiene asintotas.
• La función tiene un punto de corte con el eje Y.
• La funcipon puede tener hasta un máximo de 3 puntos de interección con el eje X.

Por el momento es todo, esperamos que hayan aprendido algo; Cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

Saludos

Equipo MTMTC