La parábola y su gráfica

En matemáticas, una parábola  es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.
Pero también, una parábola es una linea con forma de arco, es decir, es un lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco.   
                                                                             d(P,D)=d(P,F) 

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Elementos de la parábola

Los siguientes son los elementos que conforman una parábola, de los cuales, algunos, o todos, nos servirán mas adelante para trabajar con ecuaciones de la parábola misma.

• Foco: Es el punto fijo F.
• Directriz: Es la recta fija D.
• Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro p.
• Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola.
• Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola.
• Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuaciones de la parábola

Como se es sabido, una parábola puede tener su eje en el de abscisas y el vértice en el origen, o, su eje en el de ordenadas y el vértice en el origen, y dependiendo de eso están dos versiones diferentes, aunque identicas de cierta forma, para sacar datos como los del foco, o la directriz (cuando hagan falta). 

• Eje en el de abscisas y el vértice en el origen (Tanto positivo como negativo).

• Eje en el de ordenadas y el vértice en el origen (Tanto positivo como negativo).

Ahora, y ademas, pasemos a las siguientes ecuaciones:

Ecuación reducida de la parábola

Con:

• Eje en el de abscisas y el vértice en el origen (Tanto positivo como negativo).

• Eje en el de ordenadas y el vértice en el origen (Tanto positivo como negativo).

Ecuación general y canónica de la parábola

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.
Tomando como ejemplo la forma:

(x – h)2 = 4p(y – k)

Nota: h vendría a ser y2 y k vendría a ser x2, cada uno de su respectiva coordenada.

Desarrollando resulta:

x2 – 2hx + h2 = 4py – 4pk

x2 – 2hx + h2 – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:

Ax2 – 2Ahx + Ah2 – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax2 – 4Apy – 2Ahx – Ah2 + 4Apk = 0

Ax2 – 4Apy – 2Ahx + A(h2 + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B

–2Ah = C

A(h2 + 4pk) = D

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda...

Ax2 + Bx + Cy + D = 0

...que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.
Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

Ay2 + Bx + Cy + D = 0

Por hoy concluimos este tema, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

Saludos

Equipo MTMTC

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales, que vendría siendo las ecuaciones más básicas que existen, son aquellas en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia.

Por ejemplo:

a + 11X + a + 12X + a + 13X + ... + a + 1n + Xn = C1 

• Dónde x es la incógnita.
• La n los coeficientes
• Y la a el termino independiente

Pero, ¿y en qué consisten estas ecuaciones lineales?

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x, que satisfacen a la ecuación.

En las anteriores ecuaciones, por ejemplo, lo que se debe hacer, como objetivo, es encontrar el valor de la x para cada ecuación.

Historia y aplicaciones

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Sistema consistente, inconsistente, determinado, indeterminado

De acuerdo con su solución, un sistema puede ser:

• Consistente, si admite solución 
• Inconsistente, si no admite solución. 

Y, un sistema Consistente puede ser:

• Determinado, si la solución es única 
• Indeterminado, si la solución no es única (En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones).

Métodos de resolución

• Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. 

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

• En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y  por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

• El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y  en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

• Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5 , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7 , con lo que el sistema queda ya resuelto.

• Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

• Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

• Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. 

A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2  para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y  ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x  en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y  si sustituimos en la primera ecuación es igual a:

• Método de Gauss

Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa".

Y así, concluimos con el tema de la entrada de hoy, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

Saludos

Equipo MTMTC

La ecuación lineal y su graficación

La ecuación lineal

Cuando el conjunto de los números reales es el conjunto de sustitución de las dos variables (x,y) de una ecuación de tipo que nos ocupa, la gráfica es una línea recta; este hecho es la causa de que a estas igualdades las llamemos ecuaciones lineales. En otras palabras, una ecuación es lineal cuando al sustituir las variables X y Y  por sus números reales respectivos, obtenemos una igualdad.

Ahora veamos algunos puntos fundamentales de las ecuaciones lineales al momento de comprobar si realmente son lo que son.

• Se ha llamado «solución de la ecuación lineal en X, Y» a todo par ordenado (x, y) con componentes reales, los cuales al sustituir a las variables  en la ecuación hacen cierta igualdad, de este modo, por ejemplo, (0, -4) es una solución de:

                                     2x – 3y – 12 = 0

• Teniendo en cuenta tenemos que X y Y no son iguales a la respuesta, porque al hacer X = 0 y Y = -4 en la ecuación resulta:

2(0) – 3(–4) – 12 = 0

12 – 12 = 0

0 = 0 

De esta forma observamos que al sustituir X y Y por lo que son y luego de resolver la ecuación, una igualdad nos da como resultado (0 = 0), por lo tanto, la ecuación anterior es una ecuación lineal.

La gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto solución, acomodando cada punto respectivo en la gráfica, guiándonos con las "X" y "Y" que tengamos de la ecuación de lineal; y entonces, tomando de ejemplo, la gráfica de 2x – 3y – 12 = 0, es la de {(x, y) | 2x – 3y – 12 = 0; x no es igual a la respuesta}. 

Ejemplo de actividad, de graficación de ecuaciones lineales

Ejemplo 1:

     Grafiquemos la ecuación lineal: 2x – 3y – 12 = 0

            Si x= 0

                                          -3y = 12

                                             y = 12/3

                                             y = -4

     (0, –4) es una solución; otra solución se obtiene haciendo:

            Si y = 0

                                    2x – 12 = 0

                                           2x = 12

                                             x = 12/2

                                             x = 6

    De manera que obtenemos (6, 0). Ahora se puede formar la gráfica que le pertenece  a 2x – 3y – 12 = 0 y es la siguiente:

*Nota: como la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta y una línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas ecuaciones las obtenemos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que contiene a estos dos puntos. 

Ejemplo 2:

      Si en la ecuación:

                                 2x – 3y = 0,

x es sustituida por cero (hacemos x = 0), tenemos (2)(0) – 3y = 0; de donde obtenemos que y = 0 también. Esto es, si x= 0 entonces y= 0, por lo que (0,0) es un par ordenado cuyos componentes hacen cierta la ecuación 2x – 3y = 0. Siendo así que (0,0) es una solución de dicha ecuación, la gráfica de (0,0) es la intersección de los ejes coordenados en el mismo punto. O (0,0).

Si queremos graficar la recta antes mencionada debemos encontrar al menos otra solución de su ecuación, como x  y  R. Podemos asignarle a x cualquier valor real y determinar el correspondiente de y, por comodidad hagamos x = 3, entonces la ecuación queda:

                                         (2)(3) – 3y = 0, 

y al resolverla para «y» tenemos 3y = 6 o y = 2; siendo entonces (3,2) la solución buscada, ahora graficamos los puntos correspondientes (0,0) (3,2) y por ellos trazamos la gráfica de la ecuación 2x – 3y = 0 mostrada a continuación: 

Y así, finalmente, concluimos con el tema de la entrada de hoy, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

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Equipo MTMTC

Estrenando espacio nuevo: Analizando las matemáticas en YouTube

¿Qué tal están todos? "Analizando las matemáticas en YouTube" es el nuevo titulo que tendrán todas aquellas entradas nuevas en las que les hablaremos de manera profunda, a modo de reseña, sobre diferentes canales de YouTube que se dediquen en cuerpo y alma a subir vídeos donde expliquen temas matemáticos,con la única finalidad de hacer que ustedes, nuestros lectores, sepan que canales sobre matemáticas valen la pena y cuales no.
Por el momento esto es todo, ¡nos vemos en la siguiente entrada!

Saludos

Equipo MTMTC

Logaritmos

¿Qué es un logaritmo?

En matemáticas, el logaritmo de un número (en una base de logaritmo determinada) es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

En otras palabras (y para que se entienda un poco mejor): de la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

El "Logax" 

LogaX es la forma como se representa un logaritmo.
Se lee de la siguiente manera: “logaritmo de x en base a es igual a y”, y debe cumplir con la condición general de que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de uno
A continuación, una imagen en la que se plasma lo anteriormente dicho.

Dónde a = base, x = numero, y = solución, +> = si y sólo si.

Representación de la operación del logaritmo

Para representar el logaritmo como operación se ha de llevar acabo, al pie de la letra, los siguientes pasos:

1-. Se escribe la abreviatura Log.

2-. Se pone como sub-índice la base (Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir).

3-. A continuación, y por último, se escribe el número resultante del que deseamos hallar del logaritmo.

     Por ejemplo tenemos, Log3 81 = y, o Log2 128 = y.

Resolución y explicación del logaritmo

El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia. Es decir, un logaritmo lo usamos para sacar el exponente de una cantidad en específico que ya ha sido elevado. Por lo que lo que se tiene que hacer con los logaritmos es sacar el exponente de "x" cantidad. 

• Digamos que tenemos Log3 81 = y, lo que se hace es buscar una exponente que a 3 lo lleve a 81. Cómo resultado obtendríamos 4, el exponente en pocas palabras. Después podríamos verificar el resultado de la siguiente forma: elevando a 3 a su potencia con el exponente resultado lo cual nos daría: 3^4 = 81.

    1.   Resolución: Operación y despeje a manera manual                       

Log3 81 = y <+> 3^y = 81 +> 3^y = 3^4 +> y = 4

    2.   Resolución: mediante el manejo de la calculadora

En las calculadoras la tecla "Log" es aquella que nos servirá para calcular el logaritmo decimal de cualquier número. Simplemente nos bastará con apretar la tecla "Log", seguido de haber metido aquel número del que queramos saber el logaritmo, para, por último, teclear  "=". Por ejemplo, tecleamos en la calculadora "Log", seguido por un uno y tres ceros (1000) y luego "=", nos dará por resultado que el logaritmo de 1000 es 3. En este método de resolución para el logaritmo no es necesaria la base.

Y así concluimos con el tema de la entrada de hoy, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

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