Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales, que vendría siendo las ecuaciones más básicas que existen, son aquellas en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia.

Por ejemplo:

a + 11X + a + 12X + a + 13X + ... + a + 1n + Xn = C1 

• Dónde x es la incógnita.
• La n los coeficientes
• Y la a el termino independiente

Pero, ¿y en qué consisten estas ecuaciones lineales?

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x, que satisfacen a la ecuación.

En las anteriores ecuaciones, por ejemplo, lo que se debe hacer, como objetivo, es encontrar el valor de la x para cada ecuación.

Historia y aplicaciones

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Sistema consistente, inconsistente, determinado, indeterminado

De acuerdo con su solución, un sistema puede ser:

• Consistente, si admite solución 
• Inconsistente, si no admite solución. 

Y, un sistema Consistente puede ser:

• Determinado, si la solución es única 
• Indeterminado, si la solución no es única (En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones).

Métodos de resolución

• Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. 

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

• En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y  por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

• El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y  en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

• Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5 , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7 , con lo que el sistema queda ya resuelto.

• Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

• Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

• Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. 

A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2  para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y  ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x  en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y  si sustituimos en la primera ecuación es igual a:

• Método de Gauss

Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa".

Y así, concluimos con el tema de la entrada de hoy, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

Saludos

Equipo MTMTC