La ecuación lineal y su graficación

La ecuación lineal

Cuando el conjunto de los números reales es el conjunto de sustitución de las dos variables (x,y) de una ecuación de tipo que nos ocupa, la gráfica es una línea recta; este hecho es la causa de que a estas igualdades las llamemos ecuaciones lineales. En otras palabras, una ecuación es lineal cuando al sustituir las variables X y Y  por sus números reales respectivos, obtenemos una igualdad.

Ahora veamos algunos puntos fundamentales de las ecuaciones lineales al momento de comprobar si realmente son lo que son.

• Se ha llamado «solución de la ecuación lineal en X, Y» a todo par ordenado (x, y) con componentes reales, los cuales al sustituir a las variables  en la ecuación hacen cierta igualdad, de este modo, por ejemplo, (0, -4) es una solución de:

                                     2x – 3y – 12 = 0

• Teniendo en cuenta tenemos que X y Y no son iguales a la respuesta, porque al hacer X = 0 y Y = -4 en la ecuación resulta:

2(0) – 3(–4) – 12 = 0

12 – 12 = 0

0 = 0 

De esta forma observamos que al sustituir X y Y por lo que son y luego de resolver la ecuación, una igualdad nos da como resultado (0 = 0), por lo tanto, la ecuación anterior es una ecuación lineal.

La gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto solución, acomodando cada punto respectivo en la gráfica, guiándonos con las "X" y "Y" que tengamos de la ecuación de lineal; y entonces, tomando de ejemplo, la gráfica de 2x – 3y – 12 = 0, es la de {(x, y) | 2x – 3y – 12 = 0; x no es igual a la respuesta}. 

Ejemplo de actividad, de graficación de ecuaciones lineales

Ejemplo 1:

     Grafiquemos la ecuación lineal: 2x – 3y – 12 = 0

            Si x= 0

                                          -3y = 12

                                             y = 12/3

                                             y = -4

     (0, –4) es una solución; otra solución se obtiene haciendo:

            Si y = 0

                                    2x – 12 = 0

                                           2x = 12

                                             x = 12/2

                                             x = 6

    De manera que obtenemos (6, 0). Ahora se puede formar la gráfica que le pertenece  a 2x – 3y – 12 = 0 y es la siguiente:

*Nota: como la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta y una línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas ecuaciones las obtenemos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que contiene a estos dos puntos. 

Ejemplo 2:

      Si en la ecuación:

                                 2x – 3y = 0,

x es sustituida por cero (hacemos x = 0), tenemos (2)(0) – 3y = 0; de donde obtenemos que y = 0 también. Esto es, si x= 0 entonces y= 0, por lo que (0,0) es un par ordenado cuyos componentes hacen cierta la ecuación 2x – 3y = 0. Siendo así que (0,0) es una solución de dicha ecuación, la gráfica de (0,0) es la intersección de los ejes coordenados en el mismo punto. O (0,0).

Si queremos graficar la recta antes mencionada debemos encontrar al menos otra solución de su ecuación, como x  y  R. Podemos asignarle a x cualquier valor real y determinar el correspondiente de y, por comodidad hagamos x = 3, entonces la ecuación queda:

                                         (2)(3) – 3y = 0, 

y al resolverla para «y» tenemos 3y = 6 o y = 2; siendo entonces (3,2) la solución buscada, ahora graficamos los puntos correspondientes (0,0) (3,2) y por ellos trazamos la gráfica de la ecuación 2x – 3y = 0 mostrada a continuación: 

Y así, finalmente, concluimos con el tema de la entrada de hoy, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

Saludos

Equipo MTMTC