La parábola y su gráfica

En matemáticas, una parábola  es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.
Pero también, una parábola es una linea con forma de arco, es decir, es un lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco.   
                                                                             d(P,D)=d(P,F) 

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Elementos de la parábola

Los siguientes son los elementos que conforman una parábola, de los cuales, algunos, o todos, nos servirán mas adelante para trabajar con ecuaciones de la parábola misma.

• Foco: Es el punto fijo F.
• Directriz: Es la recta fija D.
• Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro p.
• Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola.
• Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola.
• Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuaciones de la parábola

Como se es sabido, una parábola puede tener su eje en el de abscisas y el vértice en el origen, o, su eje en el de ordenadas y el vértice en el origen, y dependiendo de eso están dos versiones diferentes, aunque identicas de cierta forma, para sacar datos como los del foco, o la directriz (cuando hagan falta). 

• Eje en el de abscisas y el vértice en el origen (Tanto positivo como negativo).

• Eje en el de ordenadas y el vértice en el origen (Tanto positivo como negativo).

Ahora, y ademas, pasemos a las siguientes ecuaciones:

Ecuación reducida de la parábola

Con:

• Eje en el de abscisas y el vértice en el origen (Tanto positivo como negativo).

• Eje en el de ordenadas y el vértice en el origen (Tanto positivo como negativo).

Ecuación general y canónica de la parábola

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.
Tomando como ejemplo la forma:

(x – h)2 = 4p(y – k)

Nota: h vendría a ser y2 y k vendría a ser x2, cada uno de su respectiva coordenada.

Desarrollando resulta:

x2 – 2hx + h2 = 4py – 4pk

x2 – 2hx + h2 – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:

Ax2 – 2Ahx + Ah2 – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax2 – 4Apy – 2Ahx – Ah2 + 4Apk = 0

Ax2 – 4Apy – 2Ahx + A(h2 + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B

–2Ah = C

A(h2 + 4pk) = D

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda...

Ax2 + Bx + Cy + D = 0

...que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.
Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

Ay2 + Bx + Cy + D = 0

Por hoy concluimos este tema, esperamos que hayan aprendido algo; cualquier duda que les haya quedado no duden en escribirla en los comentarios, con gusto contestaremos lo que necesiten.

Saludos

Equipo MTMTC